Muharrem Akkuş, 3 Mart 1940 tarihinde Erzurum’un Aşkale İlçesi’nin Ocaklı köyünde dünyâya geldi. Sekiz yaşında iken babasının kararıyla Erzurum’a yerleşen sanatçı, ilkokulu Palandöken İlkokulu’nda okudu. Eğitimine ara vererek, 1952 yılında terzi çıraklığına başladı ve 1960 yılında kalfa oldu.
Müzik çalışmalarına, 1955 yılında başladı. Erzurum Halk Oyunları ve Türküleri Derneği’ne, arkadaşlarının teşvikiyle gitti. Bu dernekte, bir ara Erzurum barlarını oynadı ve daha sonra koro çalışmalarına katıldı.
İlk ciddi sınavını, derneğin bir konserinde okuduğu iki türküyle verdi. Hayatını değiştiren o geceden sonra, sanatçılığa karşı olan babası, fikrini değiştirmiş ve oğluna destek olmuştur. Bu başarısından ve gördüğü ilgiden ötürü, işe daha bir şevkle sarıldı. Birçok sanatçıyı radyodan ve plaklarından dinleyerek, repertuarını genişletti. 1960 yılından itibaren, Erzurum Radyosunda kurulan, Türk Halk Müziği Korosuna ses sanatçısı olarak alındı.
1963 yılının Şubat ayında askerlik görevini tamamlayarak dönen Muharrem Akkuş, radyodaki görevine döndü ve aynı zamanda Taş mağazaların arkasında, kale dibinde, kendisine ait terzi dükkanını açtı.
Kumaş almak için sık sık İstanbul’a giden Muharrem Akkuş, Nida Tüfekçi ve Neriman Tüfekçi ile tanıştı ve onların teşviki ile, dört türkülük deneme bandı yaptı. Aldığı teklif üzerine, 1965 yılının Ocak ayında, Erzurum Radyosu’ndan ayrılarak, İstanbul Radyosuna geçti ve terzi dükkanını da kapatarak İstanbul’a yerleşti.
İstanbul Belediyesi Konservatuarında, Türk Halk Müziği İcra Heyetine alındı ve dört yıl süreyle görev yaptı. Konservatuarda; Münir Nurettin Selçuk, Ahmet Kutsi Tecer, Halil Bedii Yönetken ve Kemâl Gürses, Süheyla Altmışdört, Muzaffer Birtan, Adnan Ataman ve Yücel Paşmakçı ile tanıştı, onlarla yakın çalışmalar yaptı. 1975 yılında Ankara Radyosuna geçen Muharrem Akkuş, 1980 yılına kadar burada kalarak, tekrar İstanbul’a döndü.
1999 yılında emekliye ayrıldı. Emekli olduktan sonra Alanya’ya yerleşen Muharrem Akkuş, bulunduğu her yörede, Türk Halk Müziğine gönül veren gençlerin yetişmesinde katkıları oldu. Ses sanatçılığının yanında, derlemeleri ve kaynak kişiliği ile adını duyuran Muharrem Akkuş; Almanya, Hollanda ve İsveç’te ülkemizi temsil etti ve Türk halk müziği repertuvarına, 21 adet türkü kazandırdı.